欧拉函数详解

• 蒟蒻的学习笔记

• 前置1:数论函数为定义域在自然数上的一类函数，它是非连续的函数(可以说是离散的函数)。我也不知道对不对

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1. 定义

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目。

特别的，我们规定 φ(1)=1。

• 性质

  • 欧拉函数是个
    也就是 φ(a×b)=φ(a)×φ(b) (a⊥b)φ(a×b)=φ(a)×φ(b) (a⊥b) a⊥ba⊥b表示aa与bb互质。

2. 挖个坑,后期逐步更新

3. 一些推论定理的简单证明

• φ(2×n)=φ(n)φ(2×n)=φ(n)(nn为奇数)

  证明:根据φ(2)=1φ(2)=1和积性函数定义。

• 如果a⊥ba⊥b且b>ab>a 那么 (b−a)⊥b(b−a)⊥b

• 除了φ(1)φ(1)与φ(2)φ(2)以外，当n≥3n≥3时，φ(n)φ(n)均为偶数

  证明:根据筛法，p−1p−1为偶数(pp为质数)，而筛出的欧拉函数都是有因子p−1p−1的，所以为偶数，还可以根据互质的数都是成对出现的来证明(下面有证明)。

• 若n>1n>1,则11~nn中的与nn互质的整数的和为n×φ(n)2n×φ(n)2

  证明:因为aa与nn互质(a<na<n)，那么n−an−a也与nn互质，所以互质的数是成对的，且两两之间和为nn，所以一共φ(n)2φ(n)2对,所以和为n×φ(n)2n×φ(n)2。

• 若nn为正整数，那么∑d|ndφ(d)=n∑dd|nφ(d)=n